PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2005
A seqüência 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21, ... é formada a partir do número 0 somando-se alternadamente 3 ou 4 ao termo anterior, isto é: o primeiro termo é 0, o segundo é 3 a mais que o primeiro, o terceiro é 4 a mais que o segundo, o quarto é 3 a mais que o terceiro, o quinto é 4 a mais que o quarto e assim sucessivamente.
0 , 3 , 7 , 10 , 14 , ...
A) Escreva os 20 primeiros termos desta seqüência.
B) Qual é o 1000^\circ termo desta seqüência?
C) Algum termo desta seqüência é igual a 2 000? Por quê?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Partindo de 0 e somando 3, 4, 3, 4, ... alternadamente:
0,\ 3,\ 7,\ 10,\ 14,\ 17,\ 21,\ 24,\ 28,\ 31,\ 35,\ 38,\ 42,\ 45,\ 49,\ 52,\ 56,\ 59,\ 63,\ 66
Os 20 primeiros termos são os listados acima, terminando em 66.
b) A cada dois passos o termo aumenta 3+4=7. Assim, os termos de posição ímpar são: a_1=0, a_3=7, a_5=14, ... Logo a_{2k+1}=7k.
Os termos de posição par são 3, 10, 17, \dots, isto é, a_{2k}=7(k-1)+3=7k-4.
Para o 1000^\circ termo, 2k=1000, então k=500:
Conferência: a_2=7\cdot1-4=3 e a_{20}=7\cdot10-4=66, como na lista do item a.
O 1000^\circ termo é 3496.
c) Pelo item b, os termos têm duas formas:
- posição ímpar: 7k, múltiplo de 7;
- posição par: 7k-4, que deixa resto 3 na divisão por 7.
Assim, todo termo deixa resto 0 ou 3 na divisão por 7.
Como 2000=7\cdot 285+5, o número 2000 deixa resto 5. Isso não é 0 nem 3.
Conferindo cada forma: 7k=2000 daria k=\frac{2000}{7}, que não é inteiro. 7k-4=2000 daria k=\frac{2004}{7}, que também não é inteiro.
Não: 2000 deixa resto 5 na divisão por 7, e os termos da seqüência só deixam resto 0 ou 3.
Assunto: Sequências e padrões.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2005 · Nível 3. Prova oficial ↗