PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do ITA 2025

1ª fase · Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

Sejam (a_n)_{n \in \mathbb{N}} e (b_n)_{n \in \mathbb{N}} duas sequências numéricas tais que

S_n = \sum_{k=1}^n a_k = b_{n+1} - b_1 \text{ para todo } n \in \mathbb{N}.

Considere as afirmações abaixo:

I. Se (b_n)_{n \in \mathbb{N}} é uma PG, então (a_n)_{n \in \mathbb{N}} também é PG.

II. Se (a_n)_{n \in \mathbb{N}} é uma PG, então (b_n)_{n \in \mathbb{N}} também é PG.

III. Se (a_n)_{n \in \mathbb{N}} é uma PA, então (S_n)_{n \in \mathbb{N}} também é PA.

Está(ão) correta(s):

  1. A
    ( ) I e II.
  2. B
    ( ) II e III.
  3. C
    ( ) I e III.
  4. D
    ( ) apenas I.
  5. E
    ( ) nenhuma.
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Resolução comentada

A diferença entre duas somas parciais consecutivas recupera o termo da sequência. Para n\geq 2,

a_n=S_n-S_{n-1}=(b_{n+1}-b_1)-(b_n-b_1)=b_{n+1}-b_n.

Para n=1, também vale a_1=S_1=b_2-b_1. Portanto, cada a_n é a diferença entre dois termos consecutivos de (b_n).

I. Verdadeira. Se (b_n) é uma PG de razão q, então b_{n+1}=qb_n. Assim,

a_n=(q-1)b_n\quad\text{e}\quad a_{n+1}=(q-1)b_{n+1}=qa_n.

Logo, (a_n) também é uma PG. Se q=1, todos os seus termos são zero, o que também satisfaz a relação de uma PG.

II. Falsa. Um contraexemplo basta: tome a_n=1 para todo n, uma PG de razão 1, e b_1=1. Como S_n=n, a condição fornece b_{n+1}=n+1. Portanto, (b_n)=(1,2,3,\ldots), que não é PG: as razões 2/1 e 3/2 são diferentes.

III. Falsa. Tome a PA a_n=n, de razão 1. Suas somas parciais começam com 1,3,6. As diferenças consecutivas são 2 e 3, portanto (S_n) não é PA.

Somente a afirmação I é correta. Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AInclui II, mas uma PG de termos iguais a 1 pode gerar a sequência não geométrica b_n=n.
  • BInclui II e III, ambas falsas, e exclui I, que é verdadeira.
  • CInclui III, mas as somas parciais da PA a_n=n não formam uma PA.
  • EDescarta I, embora as diferenças consecutivas de uma PG também formem uma PG.

Assuntos: Progressão aritmética, Progressão geométrica.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗