PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do ITA 2025

1ª fase · Matemática · Matemática: Função exponencial

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

O conjunto de todos os valores a \in \mathbb{R} para os quais a equação 9^x - (3a + 4)3^x + 2a^2 + 9a - 5 = 0 tem duas soluções reais distintas é

  1. A
    (6, \infty).
  2. B
    \left(\dfrac{1}{2}, \infty\right) \setminus \{6\}.
  3. C
    \left(\dfrac{3}{2}, \infty\right) \setminus \{6\}.
  4. D
    \mathbb{R} \setminus \{6\}.
  5. E
    \mathbb{R}.
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Resolução comentada

Faça t = 3^x, com t>0. Cada t>0 dá exatamente um x, então a equação original tem duas soluções reais distintas quando a equação em t tem duas raízes positivas e distintas:

t^2 - (3a+4)t + (2a^2+9a-5) = 0

  1. Discriminante:

    \Delta = (3a+4)^2 - 4(2a^2+9a-5) = 9a^2+24a+16-8a^2-36a+20 = a^2-12a+36 = (a-6)^2

    Para raízes distintas, \Delta>0, ou seja, a\neq 6.

  2. Raízes: t = \dfrac{(3a+4)\pm(a-6)}{2}, que dá t_1 = 2a-1 e t_2 = a+5.

  3. Positividade:

  • 2a-1>0 \Rightarrow a>\dfrac12;
  • a+5>0 \Rightarrow a>-5.

A interseção é a>\dfrac12.

  1. Distinção: 2a-1 = a+5 \Rightarrow a=6, que já foi excluído.

Logo a\in\left(\dfrac12,\infty\right)\setminus\{6\}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem só exige discriminante positivo (a≠6) e esquece que t=3^x deve ser positivo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExige a>6, mas qualquer a>1/2 com a≠6 funciona, por exemplo a=1 (t=1 e t=6).
  • CUsa o limite 3/2, que não vem de nenhuma condição; a condição correta é 2a-1>0, ou seja, a>1/2.
  • DIgnora que as raízes em t precisam ser positivas, pois 3^x>0.
  • EIgnora tanto a>1/2 quanto a≠6, em que as raízes coincidem.

Assuntos: Função exponencial, Equação do 2º grau.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗