PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do ITA 2025

1ª fase · Matemática · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

Sejam f(x) e g(x) funções reais definidas para todo x \in \mathbb{R}. Se para todo x > 0 vale a igualdade g(x^2) = f(2x^2 - x + 1), podemos afirmar que

  1. A
    f não é sobrejetora.
  2. B
    f não é injetora.
  3. C
    g não é sobrejetora.
  4. D
    g não é injetora.
  5. E
    f(a) \neq g(a) para todo a > 0.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A igualdade vale só para x>0. Fazendo t=x^2, com x=\sqrt{t}, temos g(t)=f(2t-\sqrt{t}+1) para todo t>0.

O ponto é ver quantos valores de x>0 levam ao mesmo valor de g(x^2), ou seja, o que a lei h(x)=2x^2-x+1 faz com x>0.

A função h(x)=2x^2-x+1 é uma parábola com vértice em x=\frac{1}{4}. Ela não é injetora em x>0: por exemplo, h(0{,}5)=0{,}5-0{,}5+1=1 e h(0)=1, mas 0 não é positivo. Vamos procurar outro par: h(x)=h(y) com x+y=\frac12, ambos positivos, como x=0{,}1 e y=0{,}4.

Conferindo: h(0{,}1)=0{,}02-0{,}1+1=0{,}92 e h(0{,}4)=0{,}32-0{,}4+1=0{,}92.

Se g fosse injetora, g(0{,}01)=g(0{,}16) forçaria 0{,}01=0{,}16, o que é falso. Então g(0{,}01)=f(0{,}92)=g(0{,}16) com 0{,}01\neq0{,}16.

Assim, g assume o mesmo valor em dois pontos distintos, logo g não é injetora.

As demais afirmações não podem ser garantidas: não sabemos nada sobre f fora da imagem de h nem sobre a imagem de g, e f(a)=g(a) pode ocorrer.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANada obriga f a não ser sobrejetora; só sabemos seus valores em parte do domínio.
  • BA relação só liga g a f em x>0; f pode ser injetora, ex.: f(x)=x.
  • Cg pode ser sobrejetora, pois f é livre e pode cobrir todos os reais.
  • EPode haver a>0 com f(a)=g(a); nada impede a igualdade.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗