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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere dois círculos no primeiro quadrante:

  • C_1 com centro (x_1, y_1), raio r_1 e área \dfrac{\pi}{16}.
  • C_2 com centro (x_2, y_2), raio r_2 e área 144\pi.

Sabendo que (x_1, y_1, r_1) e (x_2, y_2, r_2) são duas progressões geométricas com somas dos termos iguais a \dfrac{7}{4} e 21, respectivamente, então a distância entre os centros de C_1 e C_2 é igual a

  1. A
    \dfrac{\sqrt{123}}{2}.
  2. B
    \dfrac{\sqrt{129}}{2}.
  3. C
    \dfrac{\sqrt{131}}{2}.
  4. D
    \dfrac{\sqrt{135}}{2}.
  5. E
    \dfrac{\sqrt{137}}{2}.
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Resolução comentada

A área de um círculo é A=\pi r^2. Portanto, os raios são positivos e valem

r_1=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac14 \quad\text{e}\quad r_2=\sqrt{144}=12.

Em uma progressão geométrica de três termos (x,y,r), o quadrado do termo central é o produto dos extremos: y^2=xr. Vamos combinar essa propriedade com as somas fornecidas.

  1. Para o primeiro círculo:

    x_1+y_1+\frac14=\frac74 \Rightarrow x_1+y_1=\frac32.

    Como y_1^2=x_1/4, temos x_1=4y_1^2. Assim,
    4y_1^2+y_1-\frac32=0 \Rightarrow y_1=\frac12\ \text{ou}\ -\frac34.

    O centro está no primeiro quadrante, então descartamos a raiz negativa. Logo, y_1=\frac12 e x_1=1.

  2. Para o segundo círculo:

    x_2+y_2+12=21 \Rightarrow x_2+y_2=9.

    Usando y_2^2=12x_2, obtemos
    y_2^2=12(9-y_2) \Rightarrow y_2^2+12y_2-108=0.

    As raízes são 6 e -18. Novamente, apenas a positiva serve: y_2=6 e x_2=3.

  3. A distância entre os centros é calculada pelo teorema de Pitágoras, usando as diferenças entre as coordenadas:

    d=\sqrt{(3-1)^2+\left(6-\frac12\right)^2} =\sqrt{4+\frac{121}{4}} =\frac{\sqrt{137}}{2}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASeu quadrado é 123/4, mas a soma dos quadrados das diferenças entre as coordenadas é 137/4.
  • BSeu quadrado é 129/4, diferente do valor 137/4 obtido pela fórmula da distância.
  • CSeu quadrado é 131/4, incompatível com os centros (1, 1/2) e (3, 6).
  • DSeu quadrado é 135/4, mas o cálculo correto fornece 4 + 121/4 = 137/4.

Assuntos: Progressão geométrica, Círculo: comprimento, arcos e áreas, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗