PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 11 (Matemática) do ITA 2017
Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Sejam D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} e P = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}.
Considere A = P^{-1}DP. O valor de \det(A^2 + A) é
- A144.
- B180.
- C240.
- D324.
- E360.
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Resolução comentada
A matriz A = P^{-1}DP é semelhante a D, então A^2 + A = P^{-1}(D^2 + D)P. Isso vale porque A^2 = P^{-1}D P P^{-1} D P = P^{-1}D^2P.
O determinante é invariante por semelhança: \det(P^{-1}MP) = \det(P^{-1})\det M\det P = \det M. Logo \det(A^2+A) = \det(D^2 + D), sem precisar calcular P^{-1} (basta que P seja invertível, e \det P = 7\cdot 5 - 2\cdot 2 = 31 \neq 0).
Como D é diagonal, D^2 + D também é, com entradas d^2 + d:
- 1^2 + 1 = 2
- 2^2 + 2 = 6
- 3^2 + 3 = 12
O determinante de uma matriz diagonal é o produto da diagonal:
Alternativa A.
Por que as outras alternativas estão erradas
- BValor sem relação com o produto 2\cdot6\cdot12; provável erro de conta nos fatores.
- CNão corresponde ao produto dos autovalores de D^2+D; erro de conta.
- DSeria (\det D)^2\cdot 9 ou similar; não decorre de D^2+D.
- EValor sem justificativa; erro ao calcular as entradas d^2+d.
Assunto: Matrizes e determinantes.
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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗