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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Das afirmações:

I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma 2^{k-1}(2m - 1), em que k e m são inteiros positivos.

II. Existe um número x \in [0, \pi/2] de tal modo que os números a_1 = \sen x, a_2 = \sen (x + \pi/4), a_3 = \sen (x + \pi/2) e a_4 = \sen (x + 3\pi/4) estejam, nesta ordem, em progressão geométrica.

III. Existe um número inteiro primo p tal que \sqrt{p} é um número racional.

é (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas I e II.
  5. E
    todas.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação.

I. Todo inteiro positivo n se escreve de forma única como potência de 2 vezes um número ímpar: n = 2^{a}\cdot b, com a \ge 0 e b ímpar positivo. Fazendo k = a+1 \ge 1 e b = 2m-1, com m = (b+1)/2 \ge 1 inteiro, temos n = 2^{k-1}(2m-1). A unicidade da fatoração (potência de 2 e parte ímpar) garante que k e m são únicos. Verdadeira.

II. Os termos são \sen x, \sen(x+\pi/4), \sen(x+\pi/2)=\cos x e \sen(x+3\pi/4)=\cos(x+\pi/4).

Para x\in[0,\pi/2], \sen x \ge 0, e se x=0 o primeiro termo é zero, o que forçaria a_2=0, mas a_2=\sen(\pi/4)\neq 0. Então x>0 e o quociente é q = a_2/a_1.

Condição: a_2^2 = a_1a_3, ou seja, \sen^2(x+\pi/4) = \sen x\cos x.

Como \sen^2(x+\pi/4) = \dfrac{1-\cos(2x+\pi/2)}{2} = \dfrac{1+\sen 2x}{2} e \sen x\cos x = \dfrac{\sen 2x}{2}, ficamos com 1+\sen 2x = \sen 2x, isto é, 1=0. Impossível. Falsa.

III. Se \sqrt p = a/b (fração irredutível), então p b^2 = a^2. Logo p \mid a, e p^2 \mid a^2, o que leva p \mid b, contradição. Então \sqrt p é irracional para todo primo p. Falsa.

Apenas I é verdadeira.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BA condição de PG a_2^2=a_1a_3 leva a 1=0, então II é falsa, e I é verdadeira.
  • CA raiz quadrada de qualquer primo é irracional, então III é falsa.
  • DInclui II, que é impossível pois \sen^2(x+\pi/4)=\sen x\cos x não tem solução.
  • EII e III são falsas.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Progressão geométrica, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗