Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere as funções f e g, da variável real x, definidas, respectivamente, por

f(x) = e^{x^2+ax+b} \quad \text{e} \quad g(x) = \ln \left(\frac{ax}{3b}\right),

em que a e b são números reais. Se f(-1) = 1 = f(-2), então pode-se afirmar sobre a função composta g \circ f que

  1. A
    g \circ f(1) = \ln 3.
  2. B
    \nexists\ g \circ f(0).
  3. C
    g \circ f nunca se anula.
  4. D
    g \circ f está definida apenas em \{x \in \mathbb{R} : x > 0\}.
  5. E
    g \circ f admite dois zeros reais distintos.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Primeiro achamos a e b. Como f(x)=e^{x^2+ax+b} e e^t=1 só quando t=0, as condições f(-1)=1 e f(-2)=1 dizem que o expoente vale zero nesses pontos:

  1. x=-1: 1-a+b=0
  2. x=-2: 4-2a+b=0

Subtraindo a primeira da segunda: 3-a=0, logo a=3 e b=2.

Assim, g(x)=\ln\left(\dfrac{3x}{6}\right)=\ln\left(\dfrac{x}{2}\right), definida para x>0.

A composta é g(f(x))=\ln\left(\dfrac{e^{x^2+3x+2}}{2}\right)=x^2+3x+2-\ln 2.

Como f(x)=e^{(\dots)}>0 para todo x, a composta está definida em todo \mathbb{R}. Isso elimina (B) e (D).

Testando (A): g\circ f(1)=1+3+2-\ln 2=6-\ln 2\neq\ln 3.

Zeros: x^2+3x+2-\ln 2=0. O discriminante é \Delta=9-4(2-\ln 2)=1+4\ln 2>0, então há duas raízes reais distintas. Logo (C) é falsa e (E) é verdadeira.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ag\circ f(1)=6-\ln 2, não \ln 3.
  • Bf(0)=e^2>0 está no domínio de g, então g\circ f(0)=2-\ln 2 existe.
  • CO discriminante 1+4\ln 2 é positivo, então a composta se anula em dois pontos.
  • DComo f(x)>0 para todo x, a composta está definida em todo \mathbb{R}, e não só para x>0.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Função exponencial, Logaritmos e função logarítmica.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 6 no caderno Matemática do ITA 2013

Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗