Questão 5 (Matemática) do ITA 2013

Question

Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações

\sqrt{a\sqrt{b}} = \frac{1}{2} \qquad \text{e} \qquad \ln(a^2 + b) + \ln 8 = \ln 5,

um possível valor de \frac{a}{b} é

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais	\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros	i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais	\lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n	\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M	[a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M	[a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\}	]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N}	\sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações

\sqrt{a\sqrt{b}} = \frac{1}{2} \qquad \text{e} \qquad \ln(a^2 + b) + \ln 8 = \ln 5,

um possível valor de \frac{a}{b} é

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Primeiro, traduza cada equação em uma relação algébrica entre a e b.

Na primeira equação, elevamos ao quadrado: a\sqrt{b} = \frac{1}{4}. Como \sqrt{b}\ge 0 e o resultado é positivo, a>0 e b>0. Elevando de novo: a^2 b = \frac{1}{16}.
Na segunda, usamos \ln x + \ln y = \ln(xy): \ln\big(8(a^2+b)\big)=\ln 5. Logo 8(a^2+b)=5, isto é, a^2+b=\frac{5}{8}.
Seja x=a^2. Temos x+b=\frac58 e xb=\frac1{16}. Então x e b são raízes de t^2-\frac58 t+\frac1{16}=0. Multiplicando por 16: 16t^2-10t+1=0.
Discriminante: 100-64=36, então t=\frac{10\pm 6}{32}, ou seja, t=\frac12 ou t=\frac18.
Há dois casos:

a^2=\frac12, b=\frac18: a=\frac{\sqrt2}{2} e \frac ab=\frac{\sqrt2}{2}\cdot 8=4\sqrt2 (não aparece nas opções).
a^2=\frac18, b=\frac12: a=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4} e \frac ab=\frac{\sqrt2}{4}\cdot 2=\frac{\sqrt2}{2}.

O segundo caso fornece um valor presente nas alternativas.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhuma das soluções do sistema; a razão a/b só pode ser 4\sqrt2 ou \sqrt2/2.
CNão é valor de a/b em nenhum dos dois casos possíveis.
DNão resulta de nenhum par (a,b) que satisfaz as duas equações.
ENão é um valor possível; o outro valor possível de a/b é 4\sqrt2, não 3\sqrt2.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗