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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere funções f, g, f + g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}. Das afirmações:

I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora;
II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;
III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora;
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora,

é (são) verdadeira(s)

  1. A
    nenhuma.
  2. B
    apenas I e II.
  3. C
    apenas I e III.
  4. D
    apenas III e IV.
  5. E
    todas.
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Resolução comentada

Para provar que uma afirmação é falsa, basta um contraexemplo. Lembre: injetora significa que valores diferentes de x dão imagens diferentes; sobrejetora significa que a imagem é todo \mathbb{R}.

I. Tome f(x)=x e g(x)=-x. Ambas são injetoras, mas (f+g)(x)=0 é constante, logo não é injetora. Falsa.

II. Tome f(x)=x e g(x)=-x. Ambas são sobrejetoras, mas f+g=0 tem imagem \{0\}\neq\mathbb{R}. Falsa.

III. Tome f(x)=x^2 e g(x)=x-x^2. Nenhuma é injetora: f(1)=f(-1), e g(0)=g(1)=0. Porém (f+g)(x)=x é injetora. Falsa.

IV. Tome f(x)=x^2 e g(x)=x-x^2. Nenhuma é sobrejetora: f só assume valores \ge 0 e g só assume valores \le 1/4. Mas f+g=x é sobrejetora. Falsa.

Como as quatro afirmações têm contraexemplo, nenhuma é verdadeira.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bsupõe que a soma de injetoras ou de sobrejetoras preserva a propriedade, mas f(x)=x e g(x)=-x dão soma nula.
  • CI é falsa (x e -x) e III também, pois x² e x−x² somam x, que é injetora.
  • DIII e IV caem com o mesmo contraexemplo: f=x² e g=x−x² resultam em f+g=x, injetora e sobrejetora.
  • Etodas têm contraexemplo, então não podem ser todas verdadeiras.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗