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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos A, B e C do plano xOy, sendo B = (2, 1) e C = (5, 5). Das seguintes afirmações:

I. A se encontra sobre a reta y = -\frac{3}{4}x + \frac{11}{2},

II. A está na intersecção da reta y = -\frac{3}{4}x + \frac{45}{8} com a circunferência (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25,

III. A pertence às circunferências (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25 e \left(x - \frac{7}{2}\right)^2 + (y - 3)^2 = \frac{75}{4},

é (são) verdadeira(s) apenas

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    I e II.
  5. E
    II e III.
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Resolução comentada

Primeiro, o lado: BC=\sqrt{3^2+4^2}=5. Como o triângulo é equilátero, A está a distância 5 de B e de C, e fica sobre a mediatriz de BC.

  1. Ponto médio de BC: M=\left(\frac{7}{2},3\right).
  2. Inclinação de BC: \frac{4}{3}. A mediatriz tem inclinação -\frac{3}{4} e passa por M:
    y-3=-\frac{3}{4}\left(x-\frac{7}{2}\right)\Rightarrow y=-\frac{3}{4}x+\frac{21}{8}+3=-\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}.

I: a reta é y=-\frac{3}{4}x+\frac{11}{2}=-\frac34x+\frac{44}{8}, diferente de \frac{45}{8}. Não é a mediatriz, logo A não está nela. Falsa.

II: A está na mediatriz (reta com \frac{45}{8}) e a distância AB=5 dá (x-2)^2+(y-1)^2=25. Verdadeira.

III: AC=5 dá (x-5)^2+(y-5)^2=25. A segunda circunferência tem centro M e raio^2=\frac{75}{4}, ou seja, raio \frac{5\sqrt3}{2}, que é exatamente a altura do triângulo, \frac{5\sqrt3}{2}. Como AM é a altura, A pertence a ela. Verdadeira.

Portanto, só II e III são verdadeiras.

Alternativa E.

Pegadinha: A afirmação I usa \frac{11}{2}, muito próximo do \frac{45}{8} correto da mediatriz, para enganar quem não faz a conta.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA reta da afirmação I tem termo \frac{44}{8}, não \frac{45}{8}; não é a mediatriz de BC.
  • BII é verdadeira, mas III também, pois a altura \frac{5\sqrt3}{2} dá raio^2=\frac{75}{4} centrado em M.
  • CIII é verdadeira, mas II também, pois A está na mediatriz e a 5 de B.
  • DInclui I, que é falsa, e exclui III, que é verdadeira.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Triângulos: congruência e pontos notáveis, Equação da circunferência.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗