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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Cilindro

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Um cilindro reto de altura \frac{\sqrt{6}}{3}\ cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3\ cm, o volume do cilindro, em cm^3, é igual a

  1. A
    \frac{\pi\sqrt{3}}{4}.
  2. B
    \frac{\pi\sqrt{3}}{6}.
  3. C
    \frac{\pi\sqrt{6}}{6}.
  4. D
    \frac{\pi\sqrt{6}}{9}.
  5. E
    \frac{\pi}{3}.
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Resolução comentada

O cilindro tem a base numa face do tetraedro e a outra base numa seção paralela a essa face. Essa seção é um triângulo equilátero menor, semelhante à face, e a base superior do cilindro está inscrita nele.

  1. Altura do tetraedro de aresta a=3: H=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}\ \text{cm}.

  2. O cilindro tem altura h=\dfrac{\sqrt{6}}{3}, que é \dfrac{1}{3} de H. A seção na altura h está a uma distância H-h=\dfrac{2\sqrt{6}}{3} do vértice superior.

  3. Razão de semelhança: k=\dfrac{H-h}{H}=\dfrac{2}{3}. O lado da seção é 3\cdot\dfrac{2}{3}=2\ \text{cm}.

  4. A base superior do cilindro é um círculo inscrito nesse triângulo equilátero de lado 2. O raio é o apótema: r=\dfrac{\ell\sqrt{3}}{6}=\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ \text{cm}.

  5. Volume:

V=\pi r^2 h=\pi\cdot\frac{3}{9}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\pi\sqrt{6}}{9}\ \text{cm}^3

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa um raio ou uma altura que não correspondem à seção de lado 2 cm.
  • BErra o raio, por exemplo usando o apótema da face de lado 3 em vez da seção de lado 2.
  • CUsa r^2=1/2 ou outro raio incorreto, dando fator 1/6 em vez de 1/9.
  • EEsquece o fator \sqrt{6} da altura ou calcula o volume sem usar a altura dada.

Assuntos: Cilindro, Semelhança e Teorema de Tales.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗