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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Matemática) do ITA 2010

Matemática · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{R} : conjunto dos números reais i : unidade imaginária: i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x \le b\} \vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a \le x < b\} \overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R}; \ a < x < b\} M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A \backslash B = \{x; \ x \in A \text{ e } x \notin B\} \det A : determinante da matriz A
\sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_k, \ k \in \mathbb{N} A^t : transposta da matriz A
\sum_{n=0}^k a_n x^n = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k, \ k \in \mathbb{N} A^{-1} : inversa da matriz inversível A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\text{Arg } z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, \text{Arg } z \in [0, 2\pi[

f \circ g : função composta das funções f e g

f \cdot g : produto das funções f e g

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem 1\text{ cm}. Se M é o ponto médio do segmento \overline{AB} e N é o ponto médio do segmento \overline{CD}, então a área do triângulo MND, em \text{cm}^2, é igual a

  1. A
    \dfrac{\sqrt{2}}{6}.
  2. B
    \dfrac{\sqrt{2}}{8}.
  3. C
    \dfrac{\sqrt{3}}{6}.
  4. D
    \dfrac{\sqrt{3}}{8}.
  5. E
    \dfrac{\sqrt{3}}{9}.
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Resolução comentada

Em um tetraedro regular de aresta 1, todas as faces são triângulos equiláteros de lado 1.

  1. Como M é ponto médio de AB, em cada uma das faces ABC e ABD o segmento que parte de M é uma mediana, que também é altura. Então MC = MD = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

  2. O triângulo MCD é isósceles de base CD = 1. Como N é ponto médio de CD, MN é a altura relativa à base, logo MN \perp CD.

  3. Calculamos MN por Pitágoras no triângulo MND, retângulo em N, com ND = \dfrac{1}{2}:

MN^2 = MD^2 - ND^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow MN = \frac{\sqrt{2}}{2}.
  1. O triângulo MND é retângulo em N, com catetos MN = \dfrac{\sqrt{2}}{2} e ND = \dfrac{1}{2}. Sua área é:
S = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8}\ \text{cm}^2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa a área como \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} ou algo similar, sem base no triângulo retângulo; o correto é metade do produto dos catetos.
  • CMistura valores de triângulo equilátero (\sqrt3) e não calcula MN corretamente.
  • DÉ a área de um triângulo equilátero de lado \frac12 ou semelhante, não a de MND; esquece que MN=\frac{\sqrt2}{2}.
  • EValor sem relação com os catetos \frac{\sqrt2}{2} e \frac12 do triângulo.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2010 · Matemática. Prova oficial ↗