PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2026
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Seja H a hipérbole com focos A = (-6, 0), B = (6, 0) e excentricidade 3.
a) Determine as equações de todas as retas que passam por C = (0, -8) e são tangentes a H.
b) Para cada reta do item anterior, determine os pontos de tangência.
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Resolução comentada
a) Os focos são (\pm 6,0), então o centro é a origem e c=6. Como e=\dfrac{c}{a}=3, temos a=2. Daí b^2=c^2-a^2=36-4=32, e a hipérbole é
A reta vertical x=0 não corta H, então as candidatas têm a forma y=mx-8. Substituindo em 8x^2-y^2=32:
Para a reta ser tangente, essa equação precisa ter uma única raiz. Isso exige 8-m^2\neq 0 (se m^2=8, a reta é paralela a uma assíntota e corta H sem tangenciar) e discriminante nulo:
As retas tangentes são y=2\sqrt6\,x-8 e y=-2\sqrt6\,x-8.
Resposta: y=2\sqrt6\,x-8 e y=-2\sqrt6\,x-8.
b) Com \Delta=0, a raiz dupla é
- Para m=2\sqrt6: x=\sqrt6 e y=2\sqrt6\cdot\sqrt6-8=12-8=4.
- Para m=-2\sqrt6: x=-\sqrt6 e y=-2\sqrt6\cdot(-\sqrt6)-8=4.
Conferindo em H: \dfrac{6}{4}-\dfrac{16}{32}=\dfrac32-\dfrac12=1. ✓
Resposta: (\sqrt6,\,4) para a reta de coeficiente angular 2\sqrt6 e (-\sqrt6,\,4) para a de coeficiente -2\sqrt6.
Assunto: Cônicas e lugares geométricos.
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Fonte: ITA 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗