PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2026
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Quantas sequências estritamente crescentes de três números naturais é possível construir de forma que a soma dos três números é igual a 100?
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Resolução comentada
a) Queremos o número de ternas a<b<c de naturais com a+b+c=100. Como a ordem é fixada pela desigualdade, cada terna é uma partição de 100 em três parcelas positivas distintas.
Vamos contar o total de partições de 100 em três parcelas positivas (sem exigir que sejam distintas) e subtrair as que têm parcelas repetidas.
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O número de partições de n em exatamente 3 parcelas positivas é o inteiro mais próximo de \frac{n^2}{12}. Para n=100: \frac{10000}{12}\approx 833{,}3, então são 833 partições.
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Parcelas todas iguais: 3a=100 não tem solução natural, então não há nenhuma.
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Exatamente duas parcelas iguais: a+a+c=100, com c=100-2a\geq 1 e c\neq a. Isso dá a=1,2,\dots,49. O caso c=a exigiria a=\frac{100}{3}, que não é inteiro, então nenhum valor é excluído. São 49 partições.
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Parcelas distintas: 833-49=784.
Conferência por outro caminho: com a'=a-1,\ b'=b-2,\ c'=c-3, temos 0\le a'\le b'\le c' e a'+b'+c'=94. O número de partições de 94 em no máximo 3 parcelas é o inteiro mais próximo de \frac{(94+3)^2}{12}=\frac{9409}{12}\approx 784{,}08, ou seja, 784. Os dois métodos concordam.
784 sequências
Assunto: Princípio fundamental da contagem.
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Fonte: ITA 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗