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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2026

Matemática · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Os pontos A e B definem um segmento com m(AB) = 6(1 + \sqrt{3})\text{ cm}. Os pontos C e D estão no segmento \overline{AB}. A circunferência de centro em C e passando por A e a circunferência de centro em D e passando por B se encontram nos pontos P e Q, que satisfazem

m(\overline{AP}) = m(\overline{PQ}), \quad m(\overline{BP}) = m(\overline{AP})\sqrt{2 + \sqrt{3}}.

a) Determine o raio de cada circunferência.

b) Determine a área da região comum ao interior das duas circunferências.

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Resolução comentada

a) Os centros C e D estão sobre \overline{AB}, então PQ é perpendicular a AB. Seja M o ponto médio de PQ, que fica sobre AB. Chame m(AP)=m(PQ)=s, de modo que PM=s/2.

No triângulo retângulo AMP, \sen(\widehat{PAM})=\frac{s/2}{s}=\frac12. Logo \widehat{PAM}=30^\circ e AM=\frac{s\sqrt3}{2}.

No triângulo retângulo BMP:

BM^2=BP^2-PM^2=s^2(2+\sqrt3)-\frac{s^2}{4}=\frac{s^2(7+4\sqrt3)}{4}=\frac{s^2(2+\sqrt3)^2}{4}

Portanto BM=\frac{s(2+\sqrt3)}{2}.

Somando:

AB=AM+BM=\frac{s(\sqrt3+2+\sqrt3)}{2}=s(1+\sqrt3)=6(1+\sqrt3)\Rightarrow s=6\ \text{cm}

Assim PM=3, AM=3\sqrt3 e BM=3(2+\sqrt3)=6+3\sqrt3.

Circunferência de centro C: o triângulo ACP é isósceles (CA=CP) com ângulo de 30^\circ em A. Então r_1=CA=\frac{AM'}{\cos 30^\circ}, onde AM'=\frac{AP}{2}=3 é a metade da base AP. Logo r_1=\frac{3}{\sqrt3/2}\cdot\frac12\cdot 2=2\sqrt3.

Conferindo: CM=AM-r_1=\sqrt3 e CP^2=3+9=12. ✓

Circunferência de centro D: D está entre M e B, então DM=BM-r_2. Como DP=r_2:

r_2^2=9+(BM-r_2)^2\Rightarrow r_2=\frac{9+BM^2}{2BM}=\frac{36(2+\sqrt3)}{6(2+\sqrt3)}=6

Raios: 2\sqrt3\ \text{cm} (centro C) e 6\ \text{cm} (centro D).

b) A região comum é uma lente, limitada pela corda comum PQ=6. Ela é a soma de dois segmentos circulares, um de cada lado da corda.

  • Circunferência de centro C, que fica à esquerda da corda (CM=\sqrt3): o segmento à direita da corda é o menor. Como \sen\alpha=\frac{3}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}, o ângulo central é 2\alpha=120^\circ. Área:

    \frac12\cdot12\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right)=4\pi-3\sqrt3

  • Circunferência de centro D, que fica à direita da corda (DM=3\sqrt3): o segmento à esquerda da corda é o menor. Como \sen\beta=\frac36=\frac12, o ângulo central é 2\beta=60^\circ. Área:

    \frac12\cdot36\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right)=6\pi-9\sqrt3

Somando:

A=(4\pi-3\sqrt3)+(6\pi-9\sqrt3)=10\pi-12\sqrt3

Área =(10\pi-12\sqrt3)\ \text{cm}^2 (\approx 10{,}6\ \text{cm}^2).

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: ITA 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗