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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2026

Matemática · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Considere um octaedro regular, centrado na origem, com três vértices em (5, 0, 0), (0, 5, 0) e (0, 0, 5). Quantos pontos, no interior e na superfície desse sólido, possuem todas as coordenadas inteiras?

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Resolução comentada

a) O octaedro regular centrado na origem com vértices (\pm5,0,0), (0,\pm5,0) e (0,0,\pm5) é o conjunto dos pontos tais que

|x|+|y|+|z|\le 5.

Precisamos contar as ternas inteiras (x,y,z) que satisfazem essa desigualdade. Vamos contar por "camadas", isto é, pelo valor k=|x|+|y|+|z|, com k=0,1,\dots,5.

Para k=0 há só a origem: 1 ponto.

Para k\ge1, contamos as soluções de |x|+|y|+|z|=k separando pelo número de coordenadas nulas:

  1. Duas coordenadas nulas: o ponto fica sobre um eixo, com valor \pm k. São 3\cdot 2=6 pontos.
  2. Exatamente uma coordenada nula: escolhemos qual (3 modos), e as outras duas são não nulas com |a|+|b|=k. Há k-1 pares de valores absolutos positivos e 4 combinações de sinais. Total: 3\cdot4(k-1)=12(k-1).
  3. Nenhuma coordenada nula: os valores absolutos positivos somam k, o que dá \binom{k-1}{2} soluções, e há 8 combinações de sinais. Total: 4(k-1)(k-2).

Somando:

6+12(k-1)+4(k-1)(k-2)=4k^2+2.

Verificação: para k=1 temos 6 pontos, os vértices do octaedro unitário; para k=2 temos 18.

Agora somamos as camadas de k=1 a 5:

\sum_{k=1}^{5}(4k^2+2)=4\cdot(1+4+9+16+25)+2\cdot5=4\cdot55+10=230.

Incluindo a origem: 230+1=231.

Conferência pela fórmula conhecida \dfrac{(2n+1)(2n^2+2n+3)}{3} com n=5: \dfrac{11\cdot63}{3}=231.

Resposta: 231 pontos.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Fonte: ITA 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗