PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2025
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\max\{i, j\} : denota o maior dentre os valores i e j
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.
A^{-1} : denota a inversa da matriz A.
(a_{ij}) : representa uma matriz cuja entrada na linha i e coluna j é indexada por a_{ij}.
Seja E uma elipse com eixo focal no eixo O_x do sistema de coordenadas cartesiano. O centro de E é o ponto (r, 0), com r > 0, sua excentricidade é \frac{\sqrt{2}}{2}, e seu semieixo maior mede \sqrt{2}. Considerando os pontos (x, y) \in E, determine o valor de r para que \frac{y}{x} tenha valor máximo igual a 1 .
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Resolução comentada
a) Com o eixo focal em O_x, a=\sqrt{2} e e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos c=1. Então b^2=a^2-c^2=2-1=1, e a elipse é
O quociente \dfrac{y}{x} é o coeficiente angular da reta y=kx que passa pela origem e pelo ponto (x,y). O valor máximo de k ocorre quando essa reta é tangente à elipse. Isso só é possível se a origem estiver fora da elipse, ou seja, r>\sqrt{2}. Caso contrário, \dfrac{y}{x} seria ilimitado. Nesse caso x>0 em toda a elipse, então não há problema com x=0.
Substituindo y=kx na equação da elipse:
- (x-r)^2+2k^2x^2=2
- (1+2k^2)x^2-2rx+r^2-2=0
A tangência exige discriminante nulo:
Assim, k^2=\dfrac{1}{r^2-2}. As duas tangentes têm k=\pm\dfrac{1}{\sqrt{r^2-2}}, e o máximo de \dfrac{y}{x} é o valor positivo. Impondo k=1:
que satisfaz r>\sqrt{2}.
r=\sqrt{3}
Assunto: Cônicas e lugares geométricos.
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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗