PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2025
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
\max\{i, j\} : denota o maior dentre os valores i e j
\det A : denota o determinante da matriz A.
A^T : denota a transposta da matriz A.
A^{-1} : denota a inversa da matriz A.
(a_{ij}) : representa uma matriz cuja entrada na linha i e coluna j é indexada por a_{ij}.
Encontre os valores reais a e b tais que o polinômio p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1, ao ser dividido por x^2 - x + 1, deixe resto 2x + 1.
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Resolução comentada
a) Se p(x) dividido por x^2-x+1 deixa resto 2x+1, então p(x)=q(x)(x^2-x+1)+2x+1. Nas raízes de x^2-x+1, o termo com q(x) se anula e sobra p(\omega)=2\omega+1.
As raízes são \omega=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i. Basta usar uma delas, por exemplo \omega=\cos 60^\circ+i\,\sen 60^\circ. Ela satisfaz:
- \omega^2=\omega-1, pois \omega^2-\omega+1=0;
- \omega^3=\omega\cdot\omega^2=\omega^2-\omega=-1;
- \omega^6=1.
Reduzindo os expoentes módulo 6:
- \omega^{57}=\omega^{54}\cdot\omega^3=\omega^3=-1, porque 57=6\cdot 9+3;
- \omega^{14}=\omega^{12}\cdot\omega^2=\omega^2=\omega-1;
- \omega^{7}=\omega.
Então:
Igualando a 2\omega+1:
Como \omega não é real e a,b são reais, comparamos os coeficientes de \omega e os termos independentes: a+b=2 e -a=1.
Logo a=-1 e b=3.
Conferência: p(\omega)=-1-(\omega-1)+3\omega+1=2\omega+1. ✓
a=-1 e b=3
Assunto: Polinômios.
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Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Matemática. Prova oficial ↗