PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2024
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_{k,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes k \times n de entradas reais.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A^T : denota a transposta da matriz A.
O sólido S é formado pela união de dois paralelepípedos retângulos congruentes, com posição e medidas conforme a figura.
Seja \overline{AB} um segmento de reta completamente contido em S que contém um dos vértices de S. Encontre o maior valor possível de m(\overline{AB}).
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Resolução comentada
a) Ponha o sólido em coordenadas: o paralelepípedo "em pé" ocupa 0\le x\le 3, 0\le y\le 4, 0\le z\le 5. O "deitado" ocupa 3\le x\le 8, 0\le y\le 4, 0\le z\le 3. Então S é um prisma de altura 4 (na direção y) cuja base, no plano xz, é a região em L de vértices (0,0),(8,0),(8,3),(3,3),(3,5),(0,5).
Se o segmento tem projeção de comprimento \ell no plano xz e variação \Delta y em y, então m(\overline{AB})=\sqrt{\ell^2+\Delta y^2}. Como \Delta y\le 4, queremos \Delta y=4 e o maior \ell possível. Isso exige que a projeção seja um segmento dentro do L que parta de um vértice do L, com uma ponta em y=0 e a outra em y=4. O vértice do sólido fica na ponta em que y=0 ou y=4.
O maior segmento dentro do L começando num vértice precisa "raspar" o canto reentrante (3,3). Os candidatos são:
- De (0,0) a (8,3): \ell=\sqrt{73}\approx 8{,}54.
- De (0,5) passando por (3,3) até (7{,}5;0): \ell=\sqrt{81{,}25}\approx 9{,}01.
- De (8,0) passando por (3,3) até (0;4{,}8): reta z=\tfrac35(8-x). Em x=3 vale z=3, e em x=0 vale z=4{,}8\le 5, então o segmento está todo no L. Daí \ell^2=64+4{,}8^2=\tfrac{2176}{25}, ou seja, \ell\approx 9{,}33.
A partir de (0,5) não dá para chegar a (8,0), pois a reta passaria acima de (3,3) e sairia do sólido. Pelo vértice (8,0), a reta de maior inclinação permitida é a do item 3, que dá o maior \ell.
Com \Delta y=4:
O segmento vai de (8,0,0), que é vértice de S, até (0;4{,}8;4).
Resposta: \dfrac{4\sqrt{161}}{5}
Assunto: Prismas e paralelepípedos.
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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗