PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2024
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_{k,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes k \times n de entradas reais.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A^T : denota a transposta da matriz A.
Encontre as raízes do polinômio p(x) = x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 10x - 14, sabendo que vale a relação p(1 + x) = p(1 - x), para todo x \in \mathbb{C}.
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Resolução comentada
a) A relação p(1+x)=p(1-x) diz que, na variável t=x-1, o polinômio só tem potências pares. Por isso vale a pena transladar: fazemos x=1+t e calculamos p(1+t).
- (1+t)^4 = 1+4t+6t^2+4t^3+t^4
- -4(1+t)^3 = -4-12t-12t^2-4t^3
- 9(1+t)^2 = 9+18t+9t^2
- -10(1+t) = -10-10t
- -14
Somando cada potência de t:
- termo constante: 1-4+9-10-14=-18
- t: 4-12+18-10=0
- t^2: 6-12+9=3
- t^3: 4-4=0
- t^4: 1
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Os termos de grau ímpar somem, como a relação dada previa.
As raízes saem de t^2=3 e t^2=-6:
- t^2=3 \Rightarrow t=\pm\sqrt3
- t^2=-6 \Rightarrow t=\pm i\sqrt6
Como x=1+t, as raízes de p são:
x = 1+\sqrt3,\ 1-\sqrt3,\ 1+i\sqrt6,\ 1-i\sqrt6
Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.
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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗