PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2024
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_{k,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes k \times n de entradas reais.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A^T : denota a transposta da matriz A.
Dada uma matriz A \in M_n(\mathbb{R}) simétrica, dizemos que A é definida positiva se
para toda X \in M_{n,1}(\mathbb{R}) que tem ao menos uma entrada não-nula. Encontre todos os possíveis valores de b \in \mathbb{R} tais que a matriz
seja definida positiva.
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Resolução comentada
a) Seja X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} com (x,y) \neq (0,0). Calculamos a forma quadrática:
A matriz é definida positiva se, e somente se, x^2 + 2bxy + y^2 > 0 para todo (x,y)\neq(0,0).
Caso |b|<1. Como |2xy| \le x^2+y^2, temos 2bxy \ge -|b|(x^2+y^2). Logo
pois x^2+y^2>0. Então A é definida positiva.
Caso b \ge 1. Tome X = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. Então X^TAX = 1 - 2b + 1 = 2-2b \le 0. Não é definida positiva.
Caso b \le -1. Tome X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}. Então X^TAX = 2+2b \le 0. Também não serve.
Outra forma de ver: os autovalores de A são 1+b e 1-b, ambos positivos só se -1<b<1.
Portanto A é definida positiva exatamente para -1 < b < 1.
Assunto: Matrizes e determinantes.
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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗