PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2024
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_{k,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes k \times n de entradas reais.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A^T : denota a transposta da matriz A.
Determine todos os valores reais de x para os quais
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Resolução comentada
a) Primeiro, o domínio: precisamos de |x|>0, ou seja, x\neq 0.
Mudando a base, \log_{1/2}|x| = \dfrac{\log_2|x|}{\log_2(1/2)} = -\log_2|x|. Como o módulo não muda com o sinal, \left|\log_{1/2}|x|\right| = \left|\log_2|x|\right|.
A inequação fica:
Isso equivale a -2 < \log_2|x| < 2. Como a base 2 é maior que 1, a função 2^t é crescente e o sentido das desigualdades se mantém:
A condição |x|>\frac14 já exclui x=0, então o domínio está satisfeito.
Desfazendo o módulo, \frac14<x<4 ou -4<x<-\frac14.
x\in\left(-4,-\tfrac14\right)\cup\left(\tfrac14,4\right)
Assunto: Logaritmos e função logarítmica.
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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗