PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2024
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_{k,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes k \times n de entradas reais.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A^T : denota a transposta da matriz A.
Quatro cidades A, B, C e D estão ligadas por seis pontes distintas da seguinte maneira:
– uma ponte liga A e B;
– uma ponte liga A e C;
– uma ponte liga B e C;
– duas pontes ligam B e D;
– uma ponte liga C e D.
Quantos caminhos são possíveis ligando todas as cidades e passando por todas as pontes uma única vez, sabendo que é permitido passar em uma mesma cidade mais de uma vez?
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Resolução comentada
a) Pense nas cidades como vértices e nas pontes como arestas. O grafo tem 6 arestas: AB, AC, BC, CD e duas pontes BD, que chamo de d_1 e d_2.
Um caminho que passa por todas as pontes uma única vez é um caminho euleriano. Ele só existe se houver no máximo dois vértices de grau ímpar, e nesse caso começa em um deles e termina no outro.
Graus: A tem 2, B tem 4, C tem 3 e D tem 3. Os vértices ímpares são C e D, então todo caminho começa em C e termina em D, ou o contrário.
Vou contar os caminhos de C até D, separando pela primeira ponte usada.
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Começa por CD: vai a D e sai por d_1 ou d_2 (2 escolhas). Resta a outra ponte BD, que deve ser a última. Entre as duas, de B de volta a B, percorremos AB, AC, BC em um triângulo, em um de 2 sentidos. Total: 2\cdot 2=4.
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Começa por CA: segue A\to B obrigatoriamente. Em B restam BC, d_1, d_2 e CD.
- Por BC: depois C\to D e as duas pontes BD em 2 ordens. São 2 caminhos.
- Por d_1: de D há 2 continuações possíveis (d_2,BC,CD ou CD,BC,d_2). São 2 caminhos.
- Por d_2: análogo, 2 caminhos.
Total: 2+2+2=6.
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Começa por CB: em B restam AB, d_1, d_2.
- Por AB: A\to C\to D e depois as duas BD em 2 ordens. São 2 caminhos.
- Por d_1: de D pode-se seguir por d_2,AB,AC,CD ou por CD,CA,AB,d_2. São 2 caminhos.
- Por d_2: análogo, 2 caminhos.
Total: 2+2+2=6.
De C até D temos 4+6+6=16 caminhos. Cada um pode ser percorrido também no sentido contrário, de D até C, e isso dá outro caminho.
Total: 2\cdot16=32.
Resposta: 32 caminhos (16 em cada sentido).
Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Princípio fundamental da contagem.
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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗