PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2024
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_{k,n}(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes k \times n de entradas reais.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
A^T : denota a transposta da matriz A.
Sejam (a_n) uma progressão aritmética e (b_n) uma progressão geométrica. Se a razão de (a_n) é r, r \neq 0, a razão de (b_n) é q = 1/r, a_1 = b_1 = 4 e
determine n de modo que a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica seja igual a -80.
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Resolução comentada
a)
Primeiro achamos a razão r da PA. A soma dos 5 primeiros termos de uma PA é 5a_3, e a_3 = a_1 + 2r = 4 + 2r:
A razão da PG é então q=\dfrac{1}{r}=-3, com b_1=4.
A soma dos n primeiros termos da PG é:
Impondo S_n=-80:
Como 81=3^4 e o sinal precisa ser positivo, n tem de ser par, e (-3)^4=81 fornece n=4. Esse é o único valor, pois |(-3)^n|=3^n cresce com n.
Conferindo: 4-12+36-108=-80.
n=4
Assuntos: Progressão geométrica, Progressão aritmética.
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Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗