PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2023
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Determine os pontos P pertencentes à elipse E definida pela equação \frac{x^2}{4} + y^2 = 1, tais que os segmentos de reta que ligam P aos focos de E formam um ângulo de 60^\circ.
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Resolução comentada
a) Na elipse \frac{x^2}{4}+y^2=1 temos a=2, b=1 e c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt3. Os focos são F_1=(-\sqrt3,0) e F_2=(\sqrt3,0), e m(\overline{F_1F_2})=2\sqrt3.
Seja P um ponto da elipse, com d_1=m(\overline{PF_1}) e d_2=m(\overline{PF_2}). Pela definição da elipse, d_1+d_2=2a=4.
Pela lei dos cossenos no triângulo F_1PF_2, com ângulo de 60^\circ em P:
Como d_1^2+d_2^2=(d_1+d_2)^2-2d_1d_2, a equação fica
Agora calculamos a área do triângulo de duas maneiras.
- Pelos lados d_1, d_2 e o ângulo entre eles: A=\tfrac12 d_1d_2\,\sen60^\circ=\tfrac12\cdot\tfrac43\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{\sqrt3}{3}.
- Pela base F_1F_2 e a altura |y| de P: A=\tfrac12\cdot2\sqrt3\cdot|y|=\sqrt3\,|y|.
Igualando, \sqrt3|y|=\tfrac{\sqrt3}{3}, logo |y|=\tfrac13.
Substituindo na equação da elipse: \frac{x^2}{4}=1-\frac19=\frac89, logo x^2=\frac{32}{9} e x=\pm\frac{4\sqrt2}{3}.
Verificação: para P=\left(\frac{4\sqrt2}{3},\frac13\right), d_{1,2}=2\pm\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{4\sqrt2}{3}=2\pm\frac{2\sqrt6}{3}. O produto é 4-\frac{8}{3}=\frac43, como esperado.
Os quatro pontos são simétricos em relação aos eixos:
P=\left(\pm\dfrac{4\sqrt2}{3},\ \pm\dfrac13\right) (as quatro combinações de sinais).
Assunto: Cônicas e lugares geométricos.
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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗