PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2023
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Considere um triângulo ABC tal que m(\overline{AB}) = 4, m(\overline{AC}) = 5 e B\hat{A}C = 60^\circ. Seja D um ponto no lado \overline{AB} tal que m(\overline{AD}) = 1. Encontre o raio do círculo inscrito no triângulo BCD.
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Resolução comentada
a)
Primeiro achamos os lados do triângulo BCD. Como D está em \overline{AB} com AD=1, temos DB = 4-1 = 3.
Lei dos cossenos no triângulo ABC (ângulo A=60^\circ):
Lei dos cossenos no triângulo ADC (também com A=60^\circ):
Logo BCD tem lados 3, \sqrt{21} e \sqrt{21}. O semiperímetro é
Para a área, usamos que BCD e ABC têm a mesma altura relativa ao vértice C, e suas bases em \overline{AB} medem 3 e 4. Então
O raio do círculo inscrito é r=S/p:
Racionalizando, com (2\sqrt{21}+3)(2\sqrt{21}-3)=84-9=75:
Conferindo numericamente, r\approx1{,}068. Pela fórmula, 6{,}495/6{,}083\approx1{,}068, o que bate.
r=\dfrac{6\sqrt7-3\sqrt3}{10}
Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Áreas e perímetros de polígonos.
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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗