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Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2023

Matemática · Matemática: Cilindro

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Um cilindro equilátero é apoiado sobre uma de suas bases e parcialmente preenchido com água. Quando uma esfera é colocada em seu interior, de modo a tocar o fundo, o nível de água atinge a altura do cilindro. Se o raio da esfera é igual ao raio da base do cilindro e o volume de água é 2000\frac{\pi}{3}cm^3 , determine a área da superfície lateral do cilindro e o volume da esfera.

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Resolução comentada

a) Num cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r, onde r é o raio da base. A esfera tem o mesmo raio r, então seu diâmetro 2r é igual à altura do cilindro. Ela toca o fundo e o nível da água sobe até o topo do cilindro.

Nessa situação, o espaço do cilindro é ocupado só por água e pela esfera (que fica totalmente submersa). Logo:

V_{\text{água}} + V_{\text{esfera}} = V_{\text{cilindro}}
  1. V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3
  2. V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3
  3. V_{\text{água}} = 2\pi r^3 - \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3

Como V_{\text{água}} = \dfrac{2000\pi}{3}:

\dfrac{2}{3}\pi r^3 = \dfrac{2000\pi}{3} \Rightarrow r^3 = 1000 \Rightarrow r = 10\ \text{cm}

A altura é h = 20\ \text{cm}. A área lateral é:

A_{\ell} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 10 \cdot 20 = 400\pi\ \text{cm}^2

Área lateral = 400\pi\ \text{cm}^2.

b) O volume da esfera, com r = 10 cm, é:

V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \dfrac{4000\pi}{3}\ \text{cm}^3

Volume da esfera = \dfrac{4000\pi}{3}\ \text{cm}^3.

Assuntos: Cilindro, Esfera.

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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗