PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2023
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Sejam A = \cos(\alpha) + \cos(\beta) e B = \sen(\alpha) - \sen(\beta) com \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Calcule \sen(\alpha - \beta) em função de A e B, sabendo que A e B não são ambos nulos.
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Resolução comentada
a) Use a soma e a diferença em produto (prostaférese). Sendo s=\frac{\alpha+\beta}{2} e d=\frac{\alpha-\beta}{2}, temos \alpha=s+d e \beta=s-d. Então:
Como A e B não são ambos nulos, \cos s\neq 0. Isso garante a divisão que faremos adiante.
Somando os quadrados:
O produto fica:
Dividindo as duas expressões, \cos^2 s se cancela:
Logo:
Teste: com \alpha=\frac{\pi}{2} e \beta=0, temos A=B=1 e \sen\frac{\pi}{2}=1=\frac{2\cdot1\cdot1}{1+1}.
Resposta: \sen(\alpha-\beta)=\dfrac{2AB}{A^2+B^2}
Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.
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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗