Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2023

Question

Considere o polinômio p(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1. Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio q(x) = x^{10} - 1 por p(x) e encontre todas as raízes complexas de p(x).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2023

Matemática · Matemática: Polinômios

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Considere o polinômio p(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1. Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio q(x) = x^{10} - 1 por p(x) e encontre todas as raízes complexas de p(x).

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Resolução comentada

Divisão. Multiplicando p(x) por (x+1), os termos intermediários se cancelam:

(x+1)\,p(x)=x^5+1.

Como x^{10}-1 é uma diferença de quadrados, ela se fatora assim:

x^{10}-1=(x^5-1)(x^5+1)=(x^5-1)(x+1)\,p(x).

Logo a divisão por p(x) é exata. O quociente é

(x^5-1)(x+1)=x^6+x^5-x-1,

e o resto é 0.

Raízes de p(x). Como (x+1)p(x)=x^5+1, as raízes de p são as soluções de x^5=-1, exceto x=-1. Em forma polar, -1=\cos\pi+i\,\sen\pi, então

x_k=\cos\left(\frac{\pi+2k\pi}{5}\right)+i\,\sen\left(\frac{\pi+2k\pi}{5}\right),\quad k=0,1,2,3,4.

Para k=2 temos x_2=\cos\pi+i\,\sen\pi=-1, que não é raiz de p, pois p(-1)=5. Sobram k=0,1,3,4, com ângulos \frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{5},\frac{7\pi}{5},\frac{9\pi}{5}. Os pares são conjugados:

\cos\frac{\pi}{5}\pm i\,\sen\frac{\pi}{5},\qquad \cos\frac{3\pi}{5}\pm i\,\sen\frac{3\pi}{5}.

Em forma algébrica, usando \cos 36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4} e \cos 108^\circ=\frac{1-\sqrt5}{4}:

\frac{1+\sqrt5}{4}\pm i\,\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4},\qquad \frac{1-\sqrt5}{4}\pm i\,\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}.

Resposta: quociente x^6+x^5-x-1, resto 0, e as quatro raízes acima.

Assuntos: Polinômios, Equações polinomiais e relações de Girard.

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Questão 4 no caderno Matemática da 2ª fase do ITA 2023

Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗