PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2023
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Determine o conjunto solução da inequação
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Resolução comentada
a) Primeiro o domínio. A base deve satisfazer 2-x>0 e 2-x\neq 1, ou seja, x<2 e x\neq 1.
O logaritmando da esquerda deve ser positivo: -\sqrt[3]{x^2+2x-3}>0. A raiz cúbica preserva o sinal, então isso equivale a x^2+2x-3<0. Como x^2+2x-3=(x+3)(x-1), temos -3<x<1. O logaritmando da direita, \sqrt[3]{3}, já é positivo.
Juntando as condições, o domínio é -3<x<1.
Nesse domínio, x<1 implica 2-x>1. A base é sempre maior que 1, então o logaritmo é crescente e a desigualdade se mantém ao comparar os logaritmandos:
A função t\mapsto\sqrt[3]{t} é crescente, logo:
O intervalo (-2,0) está contido no domínio (-3,1).
Verificação com x=-1: a base é 3 e o logaritmando da esquerda é -\sqrt[3]{-4}=\sqrt[3]{4}>\sqrt[3]{3}, o que confirma a desigualdade.
S=\{x\in\mathbb{R}: -2<x<0\}=(-2,0)
Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Inequações e desigualdades.
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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗