PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2023
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Considere as seguintes matrizes:
Determine os números \alpha \in \mathbb{R} tais que a matriz M = \alpha^2 A + \alpha B + C é invertível.
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Resolução comentada
a) A matriz M é invertível se, e somente se, \det M \neq 0. Vamos calcular M entrada por entrada:
A diagonal principal vale p=\alpha^2+3 e a secundária vale q=-2\alpha^2+6\alpha+3. Então \det M = p^2-q^2=(p-q)(p+q).
- p-q=\alpha^2+3+2\alpha^2-6\alpha-3=3\alpha^2-6\alpha=3\alpha(\alpha-2).
- p+q=\alpha^2+3-2\alpha^2+6\alpha+3=-\alpha^2+6\alpha+6.
Portanto
O determinante se anula quando \alpha=0, \alpha=2 ou \alpha^2-6\alpha-6=0. Nesta última, \Delta=36+24=60, logo \alpha=\dfrac{6\pm2\sqrt{15}}{2}=3\pm\sqrt{15}.
Conferência: para \alpha=0, M=C, com linhas iguais. Para \alpha=2, todas as entradas de M valem 7. Nos dois casos M é singular.
Assim, M é invertível para todo real \alpha fora desses quatro valores.
\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0,\ 2,\ 3-\sqrt{15},\ 3+\sqrt{15}\}
Assunto: Matrizes e determinantes.
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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗