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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2023

Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Sejam a e b números reais positivos. Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z:

\begin{cases} -ax + by + az = 0 \\ b^2x + a^3y + 4a^2z = 0 \\ 4a^2x + a^3y + b^2z = 0 \end{cases}

Sabendo que esse sistema admite solução não trivial, determine b em função de a. Determine o conjunto solução do sistema para a = \frac{1}{2}.

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Resolução comentada

a) O sistema é homogêneo, então só admite solução não trivial se o determinante da matriz dos coeficientes for zero:

\begin{vmatrix} -a & b & a\\ b^2 & a^3 & 4a^2\\ 4a^2 & a^3 & b^2\end{vmatrix}=0

Desenvolvendo pela primeira linha:

  1. -a\,(a^3b^2-4a^5) = -a^4b^2+4a^6
  2. -b\,(b^4-16a^4) = -b^5+16a^4b
  3. a\,(a^3b^2-4a^5) = a^4b^2-4a^6

Somando, os termos em a^4b^2 e a^6 se cancelam:

\det = -b^5+16a^4b=-b\,(b^4-16a^4).

Como b>0, o determinante é nulo quando b^4=16a^4. Com a e b positivos, b=2a.

b=2a

b) Para a=\frac12 temos b=1, a^3=\frac18 e 4a^2=1. O sistema fica:

\begin{cases}-\frac x2+y+\frac z2=0\\ x+\frac y8+z=0\\ x+\frac y8+z=0\end{cases}

A segunda e a terceira equações são idênticas. Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por 8, sobram duas equações independentes:

-x+2y+z=0,\qquad 8x+y+8z=0.

Da primeira, z=x-2y. Substituindo na segunda:

8x+y+8x-16y=0\Rightarrow 16x=15y\Rightarrow y=\frac{16x}{15}.

Então z=x-\frac{32x}{15}=-\frac{17x}{15}.

Fazendo x=15t, vem y=16t e z=-17t. Conferindo: -15+32-17=0 e 120+16-136=0.

O sistema é possível e indeterminado, com uma variável livre.

S=\{(15t,\,16t,\,-17t):t\in\mathbb{R}\}

Assuntos: Sistemas lineares, Matrizes e determinantes.

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Fonte: ITA 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗