PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2022
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Seja Q um quadrilátero de vértices A, B, C e D cujos lados satisfazem m(AB) = 5 = m(CD), m(\overline{BC}) = 3 e m(\overline{DA}) = 8. Sabendo que Q é inscrito em uma circunferência de raio r, determine r.
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Resolução comentada
a)
Como Q é inscrito, os ângulos opostos são suplementares: \hat B+\hat D=180^\circ, logo \cos\hat D=-\cos\hat B.
Vamos calcular a diagonal AC pela lei dos cossenos nos triângulos ABC e ACD:
- No triângulo ABC: AC^2=5^2+3^2-2\cdot5\cdot3\cos\hat B=34-30\cos\hat B.
- No triângulo ACD: AC^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos\hat D=89+80\cos\hat B.
Igualando:
Logo \hat B=120^\circ e \sen\hat B=\frac{\sqrt3}{2}.
Substituindo, AC^2=34+15=49, ou seja, AC=7. Conferindo pelo outro triângulo: 89-40=49 ✓.
O triângulo ABC está inscrito na mesma circunferência de raio r. Pela lei dos senos, \dfrac{AC}{\sen\hat B}=2r:
r=\dfrac{7\sqrt3}{3}
Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.
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Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗