Correção ITA 2027 · MatemáticaAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2022

Matemática · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Considere T um tronco de pirâmide regular de altura h = 4 + 2\sqrt{3} com bases hexagonais paralelas. Sabendo que o lado da maior base hexagonal mede 8\sqrt{3}/3 e que o ângulo diedral entre as faces laterais e a base do tronco mede 75^\circ, determine o volume de T.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Use o apótema da base maior e o ângulo diedral para achar a base menor.

O ângulo diedral de 75^\circ fica no triângulo retângulo formado pela altura h, pela diferença dos apótemas das bases e pelo apótema da face lateral. Os apótemas das bases (segmentos do centro ao ponto médio de um lado) ficam no mesmo plano vertical que a altura.

  1. Apótema da base maior (hexágono de lado L=\frac{8\sqrt3}{3}): a=\frac{L\sqrt3}{2}=\frac{8\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4.
  2. Tangente do ângulo diedral: \tg 75^\circ=2+\sqrt3. Então a-a'=\dfrac{h}{\tg 75^\circ}=\dfrac{4+2\sqrt3}{2+\sqrt3}=2.
  3. Apótema da base menor: a'=4-2=2. Como a razão de semelhança é a'/a=\frac12, o lado menor é l=\frac{4\sqrt3}{3}.

Áreas das bases, com A=\frac{3\sqrt3}{2}\,\text{lado}^2:

B=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot\frac{64}{3}=32\sqrt3,\qquad b=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot\frac{16}{3}=8\sqrt3.

Volume do tronco, com \sqrt{Bb}=\sqrt{256\cdot 3}=16\sqrt3:

V=\frac{h}{3}\left(B+b+\sqrt{Bb}\right)=\frac{4+2\sqrt3}{3}\cdot 56\sqrt3=\frac{224\sqrt3+336}{3}=112+\frac{224\sqrt3}{3}.

V=112+\dfrac{224\sqrt3}{3}

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Trigonometria no triângulo retângulo.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 7 no caderno Matemática da 2ª fase do ITA 2022

Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗