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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2022

Matemática · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Seja A = (0, 1). Considere a reta r de equação y = 1 - x/4 e seja s uma reta passando pela origem O e que intersecta r no 1o quadrante em um ponto P. Determine o ponto Q do 2o quadrante que pertence a r e dista \sqrt{2} de s sabendo que A\hat{P}O = \theta e que \tan(\theta) = \frac{5}{3}.

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Resolução comentada

a) Observe que A=(0,1) pertence à reta r, pois 1-0/4=1. Então A, P e Q estão todos em r.

No triângulo OAP, o ângulo em A é o ângulo entre o eixo y (segmento AO, que desce) e a reta r (segmento AP, com direção (4,-1)). Chamando esse ângulo de \alpha, temos \tg\alpha = 4/1 = 4.

Por hipótese, o ângulo em P é \theta, com \tg\theta=\frac53. Então:

\tg(\theta+\alpha)=\frac{\frac53+4}{1-\frac53\cdot 4}=\frac{17/3}{-17/3}=-1

Como \theta+\alpha\in(0,\pi), temos \theta+\alpha=\frac{3\pi}{4}. O ângulo em O vale, portanto, \pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.

Assim, s faz 45^\circ com o eixo y. Como P está no 1º quadrante, s é a reta y=x.

Conferindo: P é dado por x=1-\frac x4, ou seja, P=\left(\frac45,\frac45\right), que está no 1º quadrante.

Agora procuramos Q=(x,\,1-\frac x4) com distância \sqrt2 à reta x-y=0:

\frac{|x-y|}{\sqrt2}=\sqrt2\ \Rightarrow\ |x-y|=2

Substituindo y: x-y=\frac{5x}{4}-1=\pm2. Isso dá x=\frac{12}{5} ou x=-\frac45.

O 2º quadrante exige x<0, então x=-\frac45 e y=1+\frac15=\frac65.

Q=\left(-\dfrac45,\ \dfrac65\right)

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗