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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2022

Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.

Considere \arccos : [-1, 1] \to [0, \pi] e \operatorname{arcsen} : [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]. Determine todos os valores de \arccos(x) dado que x satisfaz

\arccos(x^4) + \operatorname{arcsen} (x^2 - 1/4) = \pi/2.
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Resolução comentada

a) Use a identidade \arccos(y)+\operatorname{arcsen}(y)=\pi/2, válida para todo y\in[-1,1].

Da equação, \operatorname{arcsen}\left(x^2-\tfrac14\right)=\dfrac{\pi}{2}-\arccos(x^4). Pela identidade, o lado direito é \operatorname{arcsen}(x^4), desde que x^4\in[-1,1], ou seja, |x|\le 1. Então:

\operatorname{arcsen}\left(x^2-\tfrac14\right)=\operatorname{arcsen}(x^4).

A função arcsen é injetora em [-1,1]. Logo os argumentos são iguais:

  1. x^2-\tfrac14=x^4
  2. x^4-x^2+\tfrac14=0
  3. \left(x^2-\tfrac12\right)^2=0
  4. x^2=\tfrac12, ou seja, x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}.

Verificação: com x^2=\tfrac12 temos x^4=\tfrac14 e x^2-\tfrac14=\tfrac14. Então \arccos\tfrac14+\operatorname{arcsen}\tfrac14=\tfrac{\pi}{2}, e as duas raízes servem. Ambos os argumentos estão em [-1,1].

Agora calculamos \arccos(x), com imagem em [0,\pi]:

  • Para x=\dfrac{\sqrt2}{2}: \arccos(x)=\dfrac{\pi}{4}.
  • Para x=-\dfrac{\sqrt2}{2}: \arccos(x)=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}.

Os valores possíveis de \arccos(x) são \pi/4 e 3\pi/4.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗