PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2022
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
No jogo da velha, dois jogadores competem em um tabuleiro ordenado formado por 3 linhas e 3 colunas. Os jogadores se alternam marcando uma casa ainda não ocupada até que um deles ocupe toda uma linha, coluna ou diagonal, sendo declarado o vencedor. Quantas configurações diferentes do tabuleiro correspondem à vitória do primeiro jogador na sua terceira jogada?
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Resolução comentada
a) Quando o primeiro jogador faz a terceira jogada, o tabuleiro tem 3 marcas dele (X) e 2 do segundo jogador (O), pois o segundo jogou apenas duas vezes.
Para a vitória ocorrer exatamente nessa jogada, X deve ter uma linha, coluna ou diagonal completa com suas 3 marcas. Antes disso ninguém pode ter vencido: X só tinha 2 marcas e O só tem 2 no final, então nenhum dos dois poderia ter completado uma linha antes.
Como o jogo é contado por configurações do tabuleiro, e não pela ordem das jogadas, basta contar:
- As 3 casas de X. O jogo tem 3 linhas, 3 colunas e 2 diagonais, ou seja, 8 trincas vencedoras. Com apenas 3 marcas, X não pode completar duas trincas ao mesmo tempo, porque duas trincas distintas compartilham no máximo uma casa e precisariam de pelo menos 5 casas. Logo, cada configuração de X corresponde a uma única trinca: 8 possibilidades.
- As 2 casas de O. Sobram 9-3=6 casas livres, e O ocupa 2 delas. Qualquer escolha serve, pois com 2 marcas O não vence. Isso dá \binom{6}{2}=15 possibilidades.
Pelo princípio multiplicativo:
120 configurações.
Assunto: Combinações e binômio de Newton.
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Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗