PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2022
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Seja z \in \mathbb{C} e denote por \Im(z) a parte imaginária de z. Determine todos os possíveis z \in \mathbb{C} com \Im(z) \neq 0 tais que temos simultaneamente \Im(z^3) = 0 e \Im((1 + z)^3) = 0.
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Resolução comentada
a) Escreva z = x + iy, com x, y \in \mathbb{R} e y \neq 0.
A parte imaginária de w^3, para w = a + bi, é
- Para z: \Im(z^3) = y(3x^2 - y^2) = 0. Como y \neq 0, temos y^2 = 3x^2.
- Para 1+z = (x+1) + iy: \Im((1+z)^3) = y\,(3(x+1)^2 - y^2) = 0. Como y \neq 0, temos y^2 = 3(x+1)^2.
- Igualando as duas expressões de y^2: 3x^2 = 3(x+1)^2, ou seja, x^2 = x^2 + 2x + 1. Logo x = -\tfrac{1}{2}.
- Então y^2 = 3\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}, e y = \pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Ambos servem, pois y \neq 0.
Verificação: z = -\tfrac12 \pm i\tfrac{\sqrt3}{2} = e^{\pm 2\pi i/3}, então z^3 = 1, que é real. Além disso, 1+z = \tfrac12 \pm i\tfrac{\sqrt3}{2} = e^{\pm i\pi/3}, então (1+z)^3 = e^{\pm i\pi} = -1, também real.
Resposta: z = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i ou z = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i.
Assunto: Números complexos.
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Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗