PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2022
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
M_n(\mathbb{R}) : denota o conjunto das matrizes n \times n de entradas reais.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : denota o ângulo formado pelas semi-retas \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}, com vértice no ponto O.
m(\overline{AB}) : denota o comprimento do segmento \overline{AB}.
Seja x \in \mathbb{R}. Considere um retângulo R de lados medindo a = 9x^2 - 5x^4 e b = 8x - 8x^3. Sabendo que o perímetro de R é 8 determine a e b.
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Resolução comentada
a) O perímetro de R é 2(a+b)=8, logo a+b=4. Substituindo as expressões de a e b:
Para resolver essa equação, procure raízes inteiras simples:
- Para x=1: 5+8-9-8+4=0, então 1 é raiz.
- Para x=-1: 5-8-9+8+4=0, então -1 também é raiz.
Portanto o polinômio é divisível por x^2-1. Fazendo a divisão:
Para 5x^2+8x-4=0, \Delta=64+80=144 e x=\dfrac{-8\pm12}{10}, ou seja, x=\dfrac25 ou x=-2.
As candidatas são x=\pm1, x=\tfrac25 e x=-2. Os lados de um retângulo precisam ser positivos, então é preciso testar cada uma:
- x=\pm1: b=8x(1-x^2)=0, o que não serve.
- x=-2: a=9\cdot4-5\cdot16=-44<0, o que não serve.
- x=\tfrac25: a=\dfrac{36}{25}-\dfrac{16}{125}=\dfrac{164}{125}>0 e b=\dfrac{16}{5}-\dfrac{64}{125}=\dfrac{336}{125}>0.
Conferindo: \dfrac{164+336}{125}=\dfrac{500}{125}=4 ✓.
O único valor de x que gera um retângulo é x=\tfrac25, e os lados são a=\dfrac{164}{125} e b=\dfrac{336}{125}.
a=\dfrac{164}{125} e b=\dfrac{336}{125}
Assuntos: Equação do 2º grau, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.
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Fonte: ITA 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗