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Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2021

Matemática · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \cdots\} : o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja P uma pirâmide regular com base quadrada. Suponha que os centros das esferas inscrita e circunscrita a P coincidam. Determine a razão entre as áreas das esferas circunscrita e inscrita a P.

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Resolução comentada

a) Seja 2a o lado da base e h a altura. Tome a=1, pois a razão não depende da escala. O centro comum O está no eixo da pirâmide, a uma altura z da base.

A esfera inscrita tangencia a base, logo r=z. A circunscrita passa pelo vértice e pelos vértices da base, logo R=h-z. A semidiagonal da base é \sqrt2, então R^2=z^2+2.

Substituindo z=r e R=h-r:

(h-r)^2=r^2+2 \Rightarrow h^2-2hr=2. \quad (1)

A esfera inscrita também tangencia as faces laterais. Seja m=\sqrt{h^2+1} o apótema da face lateral. Num corte pelo plano que contém o eixo e os pontos médios de dois lados opostos da base, a seção é um triângulo isósceles de base 2, altura h e lados m. A circunferência inscrita nele tem raio da esfera:

r=\frac{\text{área}}{\text{semiperímetro}}=\frac{h}{1+m}. \quad (2)

Substituindo (2) em (1):

h^2\left(1-\frac{2}{1+m}\right)=2 \Rightarrow h^2\,\frac{m-1}{m+1}=2.

Como h^2=m^2-1=(m-1)(m+1), temos (m-1)^2=2, ou seja, m=1+\sqrt2. Daí h^2=m^2-1=2+2\sqrt2.

Calculando os raios:

r=\frac{h}{1+m}=\frac{h}{2+\sqrt2},\qquad R=h-r=h\cdot\frac{1+\sqrt2}{2+\sqrt2}=\frac{h}{\sqrt2}.

Logo:

\frac{R}{r}=\frac{2+\sqrt2}{\sqrt2}=\sqrt2+1.

A área de uma esfera é proporcional ao quadrado do raio:

\frac{4\pi R^2}{4\pi r^2}=(1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2.

Conferência: R^2=h^2/2=1+\sqrt2 e r^2=\sqrt2-1, e de fato r^2+2=1+\sqrt2=R^2.

Razão =3+2\sqrt2

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Esfera.

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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Matemática. Prova oficial ↗