PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2021
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \cdots\} : o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Um relógio digital mostra o horário no formato H : M : S, onde H é um inteiro entre 1 e 12 representando as horas, M é um inteiro representando os minutos e S é um inteiro representando os segundos, ambos entre 0 e 59. Quantas vezes em um dia (H, M, S) são, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão aritmética de razão estritamente positiva?
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Resolução comentada
a) Se (H, M, S) são os três primeiros termos de uma PA de razão r>0, então M = H + r e S = H + 2r, com r inteiro positivo.
As restrições são 1 \le H \le 12 e 0 \le M, S \le 59. Como r>0, temos S > M > H \ge 1, então basta impor S \le 59:
Isso já garante M \le 59. Para cada H, o número de valores de r é \left\lfloor \frac{59-H}{2} \right\rfloor:
| H | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| nº de r | 29 | 28 | 28 | 27 | 27 | 26 | 26 | 25 | 25 | 24 | 24 | 23 |
Somando:
O relógio mostra horas de 1 a 12, então em um dia de 24 horas cada horário aparece duas vezes (manhã e tarde/noite). Logo:
624 vezes.
Assunto: Progressão aritmética.
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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Matemática. Prova oficial ↗