PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2021
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \cdots\} : o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Sejam \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} tais que \alpha + \beta + \gamma = -3\pi, \operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta + \operatorname{sen}\gamma = \frac{1}{2} e \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = -\frac{1}{2}.
Determine o valor de \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma.
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Resolução comentada
a) Use os números complexos z_1=e^{i\alpha}, z_2=e^{i\beta} e z_3=e^{i\gamma}, todos de módulo 1.
- Soma: S=z_1+z_2+z_3=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+i(\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta+\operatorname{sen}\gamma)=-\frac12+\frac i2.
- Produto: z_1z_2z_3=e^{i(\alpha+\beta+\gamma)}=e^{-3\pi i}=-1.
- Como \bar z_k=1/z_k, a soma dos produtos dois a dois é e_2=z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3=z_1z_2z_3\,(\bar z_1+\bar z_2+\bar z_3)=-\bar S=\frac12+\frac i2.
- Soma dos quadrados: z_1^2+z_2^2+z_3^2=S^2-2e_2.
Calculando S^2=\left(-\frac12+\frac i2\right)^2=\frac14-\frac i2-\frac14=-\frac i2, temos
A parte real dessa soma é \cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=-1.
Como \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}:
Os dados são compatíveis. O polinômio z^3-Sz^2+e_2z+1 tem a raiz z=i, e as outras duas raízes têm módulo 1.
Resposta: 1
Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.
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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Matemática. Prova oficial ↗