Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2021

Question

Considere z = a\left(\sqrt{3} + i\right) \in \mathbb{C}, onde a \in \mathbb{R}. Determine todos os números reais a para os quais z^7 e z^{13} estão à mesma distância de z no plano complexo.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2021

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \cdots\} : o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere z = a\left(\sqrt{3} + i\right) \in \mathbb{C}, onde a \in \mathbb{R}. Determine todos os números reais a para os quais z^7 e z^{13} estão à mesma distância de z no plano complexo.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

a) Escreva z na forma polar. Como |\sqrt{3}+i| = 2 e o argumento é \pi/6, temos z = 2a\,e^{i\pi/6}, com r = 2a real (positivo ou negativo).

A condição do problema é

|z^7 - z| = |z^{13} - z|.

Caso a = 0: então z = 0 e z^7 = z^{13} = 0. As duas distâncias são nulas, logo a=0 serve.

Caso a \neq 0: coloque z em evidência e divida por |z| \neq 0:

|z|\,|z^6 - 1| = |z|\,|z^{12} - 1| \iff |z^6 - 1| = |z^{12} - 1|.

Calcule z^6:

z^6 = r^6 e^{i\pi} = -r^6.

Portanto z^6 é real e negativo. Chame t = r^6 > 0. Então z^6 = -t e z^{12} = t^2, e a condição fica

|-t-1| = |t^2 - 1| \iff t + 1 = |t-1|\,(t+1).

Como t+1 > 0, podemos cancelá-lo e obter |t-1| = 1, ou seja, t = 0 ou t = 2. Já tratamos t=0 (que corresponde a a=0), então resta t = 2.

Assim, r^6 = 2, o que dá r = \pm 2^{1/6}. Como a = r/2,

a = \pm \frac{2^{1/6}}{2} = \pm 2^{-5/6}.

Conferindo, com t=2: |z^6-1| = 3 e |z^{12}-1| = |4-1| = 3. Os dois valores coincidem.

Resposta: a = 0 ou a = \pm 2^{-5/6}.

Assunto: Números complexos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 6 no caderno Matemática da 2ª fase do ITA 2021

Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Matemática. Prova oficial ↗