PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2021
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \cdots\} : o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Determine todos os valores do número real a para os quais a matriz
é não singular.
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Resolução comentada
a) Observe que as colunas 2 e 3 só têm elementos não nulos nas linhas 1 e 2. Isso sugere o teorema de Laplace aplicado a essas duas colunas: só sobrevive o menor formado pelas linhas 1 e 2.
O sinal do termo é (-1)^{(1+2)+(2+3)}=(-1)^8=+1. Assim,
O primeiro fator vale a^3+a^3=2a^3.
O segundo fator é o determinante das linhas 3, 4 e 5 nas colunas 1, 4 e 5. Pela regra de Sarrus ou por cofatores na primeira linha:
Outra forma de ver: essa matriz 3\times3 é antissimétrica (B^T=-B) e de ordem ímpar. Então \det B=\det B^T=\det(-B)=-\det B, ou seja, \det B=0.
Logo \det A=2a^3\cdot 0=0 para todo a real. A matriz é singular sempre, e não existe nenhum valor real de a que a torne não singular (conjunto vazio).
Assuntos: Matrizes e determinantes, Polinômios.
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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Matemática. Prova oficial ↗