PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2021
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \cdots\} : o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : o conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio isóceles cujas bases e altura têm comprimentos 4, 2 e 3, respectivamente.
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Resolução comentada
a) Um trapézio isósceles é inscritível, então a circunferência existe. Para achar o raio, coloco o trapézio num sistema de coordenadas com o eixo de simetria sobre o eixo y.
A base maior fica no eixo x e a base menor na altura y=3:
Como o trapézio é simétrico em relação ao eixo y, o centro da circunferência está nesse eixo, em O(0,k).
O centro é equidistante de A e C:
- OA^2 = (0+2)^2 + (k-0)^2 = 4 + k^2
- OC^2 = (0-1)^2 + (k-3)^2 = 1 + k^2 - 6k + 9 = k^2 - 6k + 10
- Igualando: 4 + k^2 = k^2 - 6k + 10 \Rightarrow 6k = 6 \Rightarrow k = 1
Logo O(0,1) e
Conferindo com B e D: OB^2 = 4+1 = 5 e OD^2 = 1 + (1-3)^2 = 5. Está correto.
R=\sqrt{5}
Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.
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Fonte: ITA 2ª fase 2021 · Matemática. Prova oficial ↗