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Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2020

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
C \cup D = união entre os conjuntos C e D.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja H o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio p(x) = (x - \sqrt{3})^6 + 64. Determine z \in \mathbb{C} sabendo que o conjunto M = \{zx \in \mathbb{C} : x \in H\} é o hexágono que possui v_1 = -1 + \sqrt{3}i, v_2 = 1 - \sqrt{3}i e v_3 = 5 - \sqrt{3}i como três vértices consecutivos.

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Resolução comentada

a) Primeiro vamos descrever H. As raízes de p satisfazem (x-\sqrt{3})^6=-64, ou seja,

x=\sqrt{3}+2\,e^{i(\pi/6+k\pi/3)},\quad k=0,\dots,5.

Logo H é um hexágono regular de centro \sqrt{3} e raio 2.

A transformação x\mapsto zx é uma rotação seguida de homotetia. Ela leva o hexágono regular H em outro hexágono regular M, com centro c=\sqrt{3}\,z e raio 2|z|.

Agora vamos achar o centro e o raio de M a partir dos vértices consecutivos v_1,v_2,v_3. Em um hexágono regular, o centro O e três vértices consecutivos formam um losango, com O oposto a v_2. Assim:

c=v_1+v_3-v_2=(-1+\sqrt3 i)+(5-\sqrt3 i)-(1-\sqrt3 i)=3+\sqrt3\,i.

O raio é o lado do hexágono:

|v_2-v_1|=|2-2\sqrt3 i|=4,\qquad |v_3-v_2|=|4|=4.

Portanto o raio de M é 4, e 2|z|=4, ou seja, |z|=2.

O centro dá

z=\frac{c}{\sqrt3}=\frac{3+\sqrt3 i}{\sqrt3}=\sqrt3+i,

e de fato |z|=2, o que é coerente.

Verificação dos vértices: \arg z=30^\circ, então os vértices de M ficam em c+4e^{i(60^\circ+30^\circ... )}. Fazendo a conta: z\cdot 2e^{i(30^\circ+60^\circ k)}=4e^{i(60^\circ+60^\circ k)}, ou seja, direções múltiplas de 60^\circ a partir do centro. Os dados confirmam: v_1-c=-4 (direção 180^\circ) e v_2-c=-2-2\sqrt3 i (direção 240^\circ). Como o centro c=\sqrt3 z determina z, a solução é única.

z=\sqrt{3}+i

Assuntos: Números complexos, Transformações geométricas e localização.

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Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗