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Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2020

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática

Notações

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
C \cup D = união entre os conjuntos C e D.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja z \in \mathbb{C} uma raiz da equação 4z^2 - 4z \sen \alpha + 1 = 0, para \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. Determine, em função de \alpha, todos os possíveis valores para:

a) 2z + \frac{1}{2z}.

b) (2z)^{15} + \frac{1}{(2z)^{15}}.

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Resolução comentada

a) Como z=0 não é raiz (daria 1=0), podemos dividir a equação por 2z:

\frac{4z^2-4z\sen\alpha+1}{2z}=0 \;\Rightarrow\; 2z-2\sen\alpha+\frac{1}{2z}=0.

Logo 2z+\dfrac{1}{2z}=2\sen\alpha, qualquer que seja a raiz z. Só há um valor possível.

2z+\dfrac{1}{2z}=2\sen\alpha

b) Seja w=2z. Pelo item anterior, w+\frac1w=2\sen\alpha, ou seja, w^2-2w\sen\alpha+1=0.

O discriminante é 4\sen^2\alpha-4=-4\cos^2\alpha. Como \alpha\in[-\pi/2,\pi/2], temos \cos\alpha\ge0, e as raízes são

w=\sen\alpha\pm i\cos\alpha.

Fazendo \theta=\frac{\pi}{2}-\alpha, temos \sen\alpha=\cos\theta e \cos\alpha=\sen\theta. Então w=\cos\theta\pm i\sen\theta, com módulo 1. Nesse caso, \frac1w=\overline{w} e as duas raízes são inversas uma da outra.

Pela fórmula de De Moivre, w^{15}=\cos15\theta\pm i\sen15\theta e w^{-15}=\cos15\theta\mp i\sen15\theta. Somando, as duas raízes dão o mesmo resultado:

w^{15}+w^{-15}=2\cos(15\theta)=2\cos\left(\frac{15\pi}{2}-15\alpha\right).

Como \frac{15\pi}{2}=6\pi+\frac{3\pi}{2} e \cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sen x, obtemos

2\cos\left(\frac{3\pi}{2}-15\alpha\right)=-2\sen(15\alpha).

Conferindo com \alpha=\pi/2: w=1, então a soma vale 2, e -2\sen(15\pi/2)=-2\cdot(-1)=2. Confere.

(2z)^{15}+\dfrac{1}{(2z)^{15}}=-2\sen(15\alpha)

Assuntos: Números complexos, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗