PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2020
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
C \cup D = união entre os conjuntos C e D.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere a função f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x) = x^6 - 10x^4 - 4x^3 + 25x^2 + 20x + 28.
a) Determine dois números reais \alpha e \beta de modo que f possa ser reescrita como f(x) = (x^3 - 5x + \alpha)^2 + \beta.
b) Determine o valor mínimo de f.
c) Determine o(s) ponto(s) x \in \mathbb{R} onde f assume seu valor mínimo.
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Resolução comentada
a) Expandimos o quadrado e comparamos com f:
- Coeficiente de x^3: 2\alpha = -4, logo \alpha=-2.
- Coeficiente de x: -10\alpha = 20, o que confere com \alpha=-2.
- Termo independente: \alpha^2+\beta = 28, logo \beta = 28-4 = 24.
Assim, f(x) = (x^3-5x-2)^2 + 24.
\alpha=-2 e \beta=24.
b) Pelo item (a), f(x) = (x^3-5x-2)^2+24. Um quadrado de número real é sempre maior ou igual a zero, então f(x)\ge 24 para todo x.
O valor 24 só é atingido se existir x real com x^3-5x-2=0. Testando x=-2: -8+10-2=0. Esse x existe, e portanto o mínimo é de fato atingido.
Valor mínimo de f: 24.
c) O mínimo ocorre exatamente onde x^3-5x-2=0. Como x=-2 é raiz, fatoramos:
Conferindo: (x+2)(x^2-2x-1)=x^3-2x^2-x+2x^2-4x-2=x^3-5x-2.
As raízes de x^2-2x-1=0 são x=\dfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt2.
O mínimo ocorre em x=-2, x=1+\sqrt2 e x=1-\sqrt2.
Assuntos: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração, Equações polinomiais e relações de Girard.
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Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗