PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2020
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
C \cup D = união entre os conjuntos C e D.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais k para os quais a reta y = kx intersecta a parábola y = x^2 + ax + b é igual a (-\infty, 2] \cup [6, +\infty), determine os números a e b.
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Resolução comentada
a) A reta y=kx intersecta a parábola quando existe x real com kx = x^2+ax+b, isto é, quando a equação
tem pelo menos uma raiz real. Isso acontece se, e somente se, \Delta\ge 0:
O conjunto de k que satisfaz isso depende do sinal de b:
- Se b\le 0, a desigualdade vale para todo k real. Isso contradiz o enunciado, que dá um conjunto com "buraco" (2,6).
- Logo b>0, e a desigualdade equivale a |k-a|\ge 2\sqrt b, ou seja, k\le a-2\sqrt b ou k\ge a+2\sqrt b.
Comparando com (-\infty,2]\cup[6,+\infty):
- a-2\sqrt b=2
- a+2\sqrt b=6
Somando: 2a=8, logo a=4. Subtraindo: 4\sqrt b=4, logo \sqrt b=1 e b=1.
Verificação: (k-4)^2\ge 4 \iff k\le 2 ou k\ge 6, como pedido.
a=4 e b=1
Assuntos: Inequações e desigualdades, Equação do 2º grau.
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Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗